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    Formulaire de report


    Définition

    Ellipse de foyers \(F(0,c)\) et \(F'(0,-c)\) : ensemble des points \(P\) tels que $$\lVert\overrightarrow{FP}\rVert+\lVert\overrightarrow{F'P}\rVert=2a\quad\text{ avec }\quad a\gt c\gt 0$$

    Equation

    Équation d'une ellipse : $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\quad\text{ avec }\quad b^2=a^2-c^2$$
    On appelle \(a\) et \(b\) les demi-longueurs des axes de l'ellipse

    Exercices

    Soit \(E\) une ellipse. On note \(r_1=\lVert\vec u\rVert\) et \(r_2=\lVert\vec v\rVert\)
    Montrer qu'il existe un unique couple \(\{M_1,M_2\}\) tel que $$M_1M_2=\max_{A,B\in E}AB$$

    Exprimer la distance \(M_1M_2\) et majorer comme un ours
    On peut supposer \(\lVert\vec u\rVert\leqslant\lVert\vec v\rVert\)

    $$\begin{align} M_1M_2^2&=r_1^2(\cos\theta_1-\cos\theta_2)^2+r_2^2(\sin\theta_1-\sin\theta_2)^2\\ &\leqslant r_2^2\underbrace{\left((\cos\theta_1-\cos\theta_2)^2+(\sin\theta_1-\sin\theta_2)^2\right)}_{\leqslant4}\end{align}$$

    On cherche l'égalité

    Donc \(M_1M_2\leqslant2 r_2\), stricte si \(\{\cos\theta_1\ne\cos\theta_2\}\), i.e. Si \(\{\theta_1,\theta_2\}\ne\{\frac\pi2,\frac{3\pi}2\}\) donc \(\{\theta_1,\theta_2\}=\{\frac\pi2,\frac{3\pi}2\}\)


    tikz
    \begindocument
    \begintikzpicture
    \def\xmin-3 \def\xmax3 \def\ymin-2 \def\ymax2;
    % Grille
    \draw (\xmin,\ymin) grid (\xmax,\ymax);
    % Points
    \draw (0,0) node[below left]\(O\);
    \draw (0,2) node[left]\(J\);
    \draw (1,0) node[below]\(I\);
    % Vecteurs
    \draw [\(\to\)] (0,0) -- (0,2);
    \draw [\(\to\)] (0,0) -- (1,0);
    \draw (0,1) node[left]\(\vec v\);
    \draw (0.5,0) node[below]\(\vec u\);
    % Clipping
    %\clip (\xmin,\ymin) rectangle (\xmax, \ymax);
    % Figures
    \draw (0,0) ellipse (1cm and 2cm);
    \endtikzpicture
    \enddocument

  • Rétroliens :
    • Conique
    • Excentricité
    • Paraboloïde elliptique